数据分析的数学基础一维：描述性统计

一、一维：描述性统计

描述性统计量分为：集中趋势、离散程度（离中趋势）和分布形态。

数据的集中趋势，用于度量数据分布的中心位置。直观地说，测量一个属性值的大部分落在何处。描述数据集中趋势的统计量是：平均值、中位数、众数。

平均值（Mean）：指一组数据的算术平均数，描述一组数据的平均水平，是集中趋势中波动最小、最可靠的指标，但是均值容易受到极端值（极小值或极大值）的影响。
中位数（Median）：指当一组数据按照顺序排列后，位于中间位置的数，不受极端值的影响，对于定序型变量，中位数是最适合的表征集中趋势的指标。
众数（Mode）：指一组数据中出现次数最多的观测值，不受极端值的影响，常用于描述定性数据的集中趋势。

数据的离散趋势，用于描述数据的分散程度，描述离散趋势的统计量是：极差、四分位数极差（IQR）、标准差、离散系数。

极差（Range）：又称全距，记作 $R$ ，是一组数据中的最大观测值和最小观测值之差。一般情况下，极差越大，离散程度越大，其值容易受到极端值的影响。
四分位数极差（Inter-Quartile Range， IQR）：又称内距，是上四分位数和下四分位数的差值，给出数据的中间一半所覆盖的范围。 $IQR$ 是统计分散程度的一个度量，分散程度通过需要借助箱线图（Box Plot）来观察。通常把小于 $Q_1-1.5 \ast IQR$ 或者大于 $Q_3+1.5 \ast IQR$ 的数据点视作离群点。
方差（Variance）：方差和标准差是度量数据离散程度时，最重要、最常用的指标。方差，是每个数据值与全体数据值的平均数之差的平方值的平均数，常用 $\sigma^{2}$ 表示。
标准差（Standard Deviation）：又称均方差，常用 $\sigma$ 表示，是方差的算术平方根。计算所有数值相对均值的偏离量，反映数据在均值附近的波动程度，比方差更方便直观。
离散系数（Coefficient of Variation）：又称变异系数，为标准差 $\sigma$ 与平均值 $\mu$ 之比，用于比较不同样本数据的离散程度。离散系数大，说明数据的离散程度大；离散系数小，说明数据的离散程度也小。